Tìm m để phưong trình sau có nghiệm (căn(4-x) +căn(4+x))^3 - 6 căn (16-x62) +2m+1=0

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

${\left(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}\right)}^3-6\sqrt{16-x^2}+2m+1=0$ (*) ĐK $x\in \left[-4;4\right]$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}S=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x},S\in \left[2\sqrt{2};4\right]\\ P=\sqrt{4-x}.\sqrt{4+x}=\sqrt{16-x^2},P\in \left[0;4\right]\end{array}\right.$

Khi đó phương trình đã cho trở thành

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{S}^3-6P+2m+1=0\\ S^2=2P+8\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}P=\frac{S^2-8}{2}\\ S^3-6\frac{S^2-8}{2}+2m+1=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}P=\frac{S^2-8}{2}\left(1\right)\\ S^3-3S^2+24+2m+1=0\left(2\right)\end{array}\right.\end{array}$

Để phương trình (*) có nghiệm

 hệ phương trình trên có nghiệm $S\ge 2\sqrt{2},P\ge 0$  và $S^2>4P$

phương trình (2) có nghiệm $S\in \left[2\sqrt{2};4\right]$

$\begin{array}{l}f\left(S\right)=S^3-3S^2+\mathrm{25,}S\in \left[2\sqrt{2};4\right]\\ f\text{'}\left(S\right)=3S^2-6S\\ f\text{'}\left(S\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}S=0\left(L\right)\\ S=2\left(L\right)\end{array}\right.\end{array}$

Bảng biến thiên