Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $PT\iff \frac{x^3+x}{{\left(x^2+1\right)}^2}+\frac{x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{x}{x^2+1}+{\left(\frac{x}{x^2+1}\right)}^2$ 

Đặt $t=\frac{x}{x^2+1}$ $\Rightarrow t\text{'}=\frac{1-x^2}{x^2+1}\ge 0\left(\forall x\in \left[0;1\right]\right)\Rightarrow t\in \left[0;\frac{1}{2}\right]$ 

Xét $f\left(t\right)=t^2+t\left(t\in \left[0;\frac{1}{2}\right]\right)$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=2t+1>0\left(t\in \left[0;\frac{1}{2}\right]\right)$

$\underset{\left[0;\frac{1}{2}\right]}{\min }f\left(t\right)=f\left(0\right)=0;\underset{\left[0;\frac{1}{2}\right]}{\max }f\left(t\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}.$ 

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì $0\le m\le \frac{3}{4}$