Tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình có nghiệm đúng là

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

BPT

$(3m+1)9^x+(2-m)3^x+1<0$ (1).

Đặt $t=3^x$ ( Đk : $t>0$).

BPT trở thành:

  $$\begin{gathered} (3m+1)t^2+(2-m)3^x+1<0 \\ \iff (3t^2-t)m<-t^2-2t-1 \end{gathered}$$(2).

Để BPT (1) nghiệm đúng $\forall x>0$ 

->BPT (2) nghiệm đúng  $\forall t>1$

nghiệm đúng $\forall t>1$

( vì $t>1$ nên $3t^2-t=t(3t-1)>0$)

$\iff \frac{-t^2-2t-1}{3t^2-t}>m$ (3) nghiệm đúng $\forall t>1$.

* Xét $f\left(t\right)=\frac{-t^2-2t-1}{3t^2-t}$ khi $t>1$ :

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(t\right)=-\frac{1}{3}$ ;

 $$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)=\frac{(-2t-2)(3t^2-t)-(-t^2-2t-1)(6t-1)}{{(3t2-t)}^2} \\ =\frac{7t^2+6t-1}{{(3t2-t)}^2} \end{gathered}$$ .

Ta thấy : $f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{1}{7}\end{array}\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)>0\forall t>1\right.$

Từ BBT ta thấy: BPT (3) ) nghiệm đúng $\forall t>1\iff f\left(t\right)>m\forall t>1\iff m\le -2$