Tính tổng S=(C1 của 100)^2 +(C2của 100)^2+(C3 của 100)^2+....+(C100 của 100)^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Có ${\left(C_{100}^1\right)}^2+{\left(C_{100}^2\right)}^2+\dots +{\left(C_{100}^{100}\right)}^2$

   $$\begin{gathered} =C_{100}^1.C_{100}^{99}+C_{100}^2.C_{100}^{98}+C_{100}^3.C_{100}^{97} \\ +\mathrm{..}+C_{100}^{100}.C_{100}^0 \end{gathered}$$                                  

=$$\begin{gathered} C_{100}^0.C_{100}^{100}+C_{100}^2.C_{100}^{98}+C_{100}^3.C_{100}^{97} \\ +\mathrm{..}+C_{100}^{100}.C_{100}^0-1=C_{200}^{100}-1 \end{gathered}$$ .

Để chứng minh dòng trên ta có thể xét khai triển ${\left(1+x\right)}^{100}{\left(x+1\right)}^{100}={\left(1+x\right)}^{200}$

Xét hệ số khi biến đối theo $x^{100}\Rightarrow \underset{k=0}{\overset{100}{}}{C}_{100}^k.C_{100}^{100-k}=C_{200}^{100}$ .