cho hàm số y=x^3 +3x^2 -9x+5 có đồ thị (C) . Gọi A,B là giao điểm của C

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét PT:

$$\begin{gathered} x^3+3x^2-9x+5=0\iff \left(x+5\right){\left(x-1\right)}^2=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-5\end{array}\right.\Rightarrow A\left(1;0\right),B\left(-5;0\right) \end{gathered}$$

 $M\left(x;y\right)\in \left(C\right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left(x-1;y\right),\overrightarrow{BM}=\left(x+5;y\right)$ điều kiện góc $AMB={90}^0$      

$\begin{array}{l}\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\iff \left(x-1\right)\left(x+5\right)+y_{}^2=0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x+5\right)+{\left(x-1\right)}^4{\left(x+5\right)}^2=0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x+5\right)\left[1+{\left(x-1\right)}^3{\left(x+5\right)}^{}\right]=0\end{array}$

$\iff 1+{\left(x-1\right)}^3\left(x+5\right)=0$ ( do $x\ne \mathrm{1,}x\ne -5$  )

Xét hàm số $f\left(x\right)=1+{\left(x-1\right)}^3\left(x+5\right)$  có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3{\left(x-1\right)}^2\left(x+5\right)+{\left(x-1\right)}^3 \\ ={\left(x-1\right)}^2\left(4x+14\right) \end{gathered}$$

Dễ thấy hàm số có một cực tiểu duy nhất $x=-\frac{7}{2}$  với GTCT là y<0  . Do vậy PT  f(x)=0 có hai nghiệm hay tồn tại hai điểm M thỏa mãn điều kiện.