Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3sin2x+cos2x)/(sin2x+4 cos^4 x+1)<=m+1

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có :$y=\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+4{\cos }^{2}x+1}=\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}$

và $\sin 2x+2\cos 2x+3>0;\forall x\in ℝ$ 

xét phương trình

 $y=\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}$

$$\begin{gathered} \iff \left(\sin 2x+2\cos 2x+3\right)y=3\sin 2x+\cos 2x \\ \iff \left(y-3\right)\sin 2x+\left(2y-1\right)\cos 2x=-3y \end{gathered}$$

Phương trình trên có nghiệm nên 

$$\begin{gathered} {\left(y-3\right)}^2+{\left(2y-1\right)}^2\ge {\left(-3y\right)}^2 \\ \iff 5y^2-10y+10\ge 9y^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff -4y^2-10y+10\ge 0 \\ \iff \frac{-5-\sqrt{65}}{4}\le y\le \frac{-5+\sqrt{65}}{4} \end{gathered}$$

Suy ra giá trị lớn nhất của y là $\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$

Phương trình $\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}\le m+1$nghiệm đúngg với mọi số thực x khi 

$\frac{-5+\sqrt{65}}{4}\le m+1\iff m\ge \frac{-9+\sqrt{65}}{4}$