Cho phương trình (m-1)log 1/3 2 (x+1)^2+4(m-5) log 1/3 1/1+x+4m-4=0 Hỏi có bao nhiêu giá trị m

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Điều kiện: $x\in \left[-\frac{2}{3};2\right]\Rightarrow \left(1\right)\iff 4\left(m-1\right){\left[{\log }_3^{}\left(x+1\right)\right]}^2+4\left(m-5\right){\log }_3\left(x+1\right)+4m-4=0$

Đặt $t={\log }_3\left(x+1\right)\Rightarrow \in \left[-1;1\right]\Rightarrow \left(1\right)\iff \left(m-1\right)t^2+\left(m-5\right)t+m-1=0\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}\left(2\right)$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1},t\in \left[-1;1\right],$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{4\left(t^2-1\right)}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=0\iff t=\pm 1$

Suy ra $f\left(-1\right)\le \underset{\left[-1;1\right]}{f\left(t\right)}\le f\left(1\right)\iff -1\le \underset{\left[-1;1\right]}{f\left(t\right)}\le \frac{7}{3}\Rightarrow \left(2\right)\iff -1\le m\le \frac{7}{3}$ 

Suy ra có 3 giá trị nguyên âm của m thỏa đề bài