Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

HD Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là ABC.A'B'C' có độ dài AB = x,AA' = h

Khi đó $S_{∆ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$ và $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{ABC}.AA\text{'}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h$

Theo giả thiết $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h=6\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{24}{x^2}$

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là nhỏ nhất.

Gọi $S_{tp}$ là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ ABC.A'B'C' ,ta có

$S_{tp}=2S_{∆ABC}+3S_{ABB\text{'}A\text{'}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+2hx=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+\frac{72}{x}$

Khảo sát $f \left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+\frac{72}{x}$ trên $(0;+\infty )$ ,ta được f (x) nhỏ nhất khi $x=2\sqrt{3}$                     

Với $x=2\sqrt{3} cm\to h=2 cm$