Cho tứ diện ABCD có thể tích là V. Điểm M thay đổi trong tam giác BCD

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Giả sử tứ diện ABCD có AB;AC'AD đội một vuông góc $\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{AB.AC.AD}{6}$

Khi đó tứ diện MNPQ có MN;MP;MQ đội một vuông góc $\Rightarrow V_{M.NPQ}=\frac{MN.MP.MQ}{6}$

Ta chứng minh được $\frac{MN}{AB}+\frac{MP}{AC}+\frac{MQ}{AD}=1$ ( dựa vào định lý Thalet), khi đó

$MN.MP.MQ=AB.AC.AD.\frac{MN}{AB}.\frac{MP}{AC}.\frac{MQ}{AD}\le AB.AC.AD.\frac{{\left(\frac{MN}{AB}+\frac{MP}{AC}+\frac{MQ}{AD}\right)}^3}{27}=\frac{AB.AC.AD}{27}$

Vậy $V_{M.NPQ}=\frac{MN.MP.MQ}{6}\le \frac{1}{27}.\frac{AB.AC.AD}{6}=\frac{V}{27}\to V_{\max }=\frac{V}{27}$