Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Theo bài ra, ta có khối nón (N) nội tiếp khối cầu (S).

Giả sử khối nón (N) có đỉnh A, tâm đáy I như hình vẽ bên với $h=IA$ là chiều cao và bán kính đáy $r=IK$ 

Tam giác AMK vuông tại K, có $I{K}^2=IA.IM\iff r^2=h\left(2R-h\right)$

Suy ra $V_{\left(N\right)}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{3}{h}^2\left(2R-h\right)=\frac{\pi }{3}.\left(2R{h}^2-h^3\right)$

Xét hàm số $f\left(h\right)=2R{h}^2-h^3$ trên khoảng $\left(0;2R\right)\to \max f\left(h\right)=\frac{32R^3}{27}$

Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{\pi }{3}.\frac{32R^3}{27}=\frac{32\pi R^3}{81}$