Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' biết đáy ABC là tam giác

* Hướng dẫn giải

Đáp án D                                          

Gọi I là trung điểm của cạnh BC, đặt AA’=x

Ta có

 $$\begin{gathered} \frac{d(O,(A\text{'}BC\left)\right)}{d(A,(A\text{'}BC\left)\right)}=\frac{OI}{AI}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow d(A,(A\text{'}BC\left)\right)=\frac{a}{2} \end{gathered}$$

Có $V_{A\text{'}ABC}=\frac{1}{3}x.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.S_{A\text{'}BC}$

Mà $S_{A\text{'}BC}=\frac{1}{2}A\text{'}I.BC=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+\frac{3a^2}{4}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow x\sqrt{3}=\sqrt{x^2+\frac{3a^2}{4}} \\ \iff 2x^2=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow V_{LT}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{16}$