Biết tiếp tuyến của (C) tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

- Viết phương trình tiếp tuyến với C tại M.

+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại điểm $M{\text{ x}}_0;f{\text{ x}}_0{\text{ :y=f ' x}}_o{\text{ x-x}}_o{\text{ +f x}}_o.$

- Tìm tọa độ hai giao điểm A,B của tiếp tuyến với các trục tọa độ Ox, Oy.

- Diện tích tam giác OAB là:$S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB.$

 $y=\frac{1}{x}\Rightarrow y\text{'}=\frac{1}{x^2}.$Ta có:

$$\begin{gathered} x_M=2-\sqrt{3}\Rightarrow y_M=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3} \\ \Rightarrow M\text{ 2-}\sqrt{3};2+\sqrt{3}. \end{gathered}$$

Phương trình tiếp tuyến với C tại $M\text{ 2-}\sqrt{3};2+\sqrt{3}$  là:

$$\begin{gathered} d:y=-y\text{'}{\text{ x}}_M{\text{ x-x}}_M+y_M \\ =-\frac{1}{2-{\sqrt{3}}^2}x-2+\sqrt{3}+2+\sqrt{3} \\ =-2+{\sqrt{3}}^{2}x+4+2\sqrt{3}. \end{gathered}$$

Cho $x=0\Rightarrow y=4+2\sqrt{3}\Rightarrow B\left(\text{0;4+2}\sqrt{3}\right)$

Cho

 $$\begin{gathered} y=0 \\ \Rightarrow x=\frac{4+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2}{2+\sqrt{3}} \\ =4-2\sqrt{3}\Rightarrow A\left(4-\text{2}\sqrt{3};0\right) \end{gathered}$$

Vậy $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left|4+2\sqrt{3}\right|\left|4-2\sqrt{3}\right|=2$  .