Một sợi dây không dãn dài 1 mét được cắt thành hai đoạn

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

- Công thức tính diện tích và chu vi hình tròn:$S=\pi R^2,C=2\pi R.$

- Công thức tính diện tích và chu vi hình vuông:$S=a^2,C=4a.$

 Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vuông là  mét thì chiều dài đoạn uốn thành hình tròn là $1-x$  mét.

Cạnh hình vuông là  $\frac{x}{4}$ nên diện tích hình vuông là $\frac{x^2}{16}.$

Bán kính hình tròn là $\frac{1-x}{2\pi }$  nên diện tích hình tròn là $\pi .{\left(\frac{1-x}{2\pi }\right)}^2=\frac{1-x^2}{4\pi }.$

Xét hàm $f\left(x\right)=\frac{x^2}{16}+\frac{1-x^2}{4\pi }$  có  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{8}+\frac{x-1}{2\pi }=0\iff x=\frac{4}{\pi +4}.$

Do đó $f\left(x\right)$  đạt GTNN tại $x=\frac{4}{\pi +4}\Rightarrow 1-x=1-\frac{4}{\pi +4}=\frac{\pi }{\pi +4}.$

Vậy tỉ số đoạn thứ nhất và đoạn thứ hai là $\frac{\pi }{\pi +4}:\frac{4}{\pi +4}=\frac{\pi }{4}.$