Tìm hệ số của số hạng chứa x^4 trong khai triển (x/3-3/x)^12 với x khác 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Công thức khai triển nhị thức New-ton:${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}.$

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{x}{3}-\frac{3}{x}\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(\frac{x}{3}\right)}^k{\left(-\frac{3}{x}\right)}^{12-k} \\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{x}^k{\left(-3\right)}^{12-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{12-k} \end{gathered}$$

Số hạng chứa $x^4$  nên ta tìm k sao cho$x^k$

 $$\begin{gathered} x^{12-k}=x^4 \\ \iff x^{2k-12}=x^4 \\ \iff 2k-12=4\iff k=8. \end{gathered}$$

Vậy hệ số của số hạng chứa$x^4$ là:$C_{12}^8.{\left(\frac{1}{3}\right)}^8.-3^{12-8}=\frac{C_{12}^8}{3^4}=\frac{55}{9}$