Số các giá trị nguyên của m để phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Biến đổi, đưa phương trình trên về dạng phương trình tích, sử dụng công thức nhân đôi của cos.

Cô lập m đưa phương trình về dạng $f\left(x\right)=m.$  Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  và đường thẳng  song song với trục hoành.

$\left(\cos x+1\right)\left(4\cos 2x-m\cos x\right)=m{\sin }^{2}x$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\cos x\right)=m\left(1-{\cos }^{2}x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\cos x\right)=m\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\cos x-m\left(1-\cos x\right)\right)=0$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+1=0\\ 4\cos 2x-m=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \\ \cos 2x=\frac{m}{4}\left(*\right)\end{array}\right.$

Xét nghiệm $x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\notin \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]\forall k\in \mathbb{Z}$

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc$\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ thì phương trình (*)có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ .

Xét hàm số $y=\cos 2x$ trên  $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ta có:

Mà $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$

BBT

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $-1<\frac{m}{4}\le -\frac{1}{2}\iff -4<m\le -2$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-3;-2\right\}$