Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC tạo với mặt đáy các

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

 Gọi A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P). Khi đó $d\left(A;\left(P\right)\right)=AA\text{'}$ .

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác ABC

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Gọi H là hình chiếu đỉnh S lên mp (ABC) khi đó ta có góc tạo bởi SA, SB, AC với đáy lần lượt là$SAH;SBH;SCH$  và$SAH=SBH=SCH=60°$

Dễ dàng chứng minh được  $\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\Rightarrow HA=HB=HC\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác$\Delta ABC.$

Đặt$SH=h.$

Xét tam giác vuông SAH có$AH=SH.\cot 60°=\frac{h}{\sqrt{3}}=R.$

Xét tam giác ABC có:$S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{AB.AC.a}{4\frac{h}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}a}{4h}AB.AC$

Mà

$$\begin{gathered} S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin BAC=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}AB.AC \\ =\frac{\sqrt{2}}{4}AB.AC \end{gathered}$$  

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}a}{4h}=\frac{\sqrt{2}}{4}\iff h=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$