Cho hình chóp S.ABC có SA=3,SB=4,SC=5, Thể tích của khối chóp S.ABC là

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta chuẩn hóa các cạnh SA, SB, SC của hình chóp về độ dài là 1

Lưu ý: việc chuẩn hóa phải đảm bảo các thông số về góc của bài toán không bị thay đổi

Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Vì hình chóp có SA = SB = SC 

=> Hình chiếu của S trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Xét ∆SAB, ta có: $AC=\sin \frac{45°}{2}$

$AB=2\sin \frac{45°}{2}$

Xét ∆ABC, ta có: $A{M}^2 + M{B}^2 = A{B}^2$

$\Rightarrow MB=\frac{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}{2}$

Ta có:  $S_{ABC}=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}.AC.MB$

$\Rightarrow R=\frac{abc}{2MB}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}$

Xét ∆ASH, ta có: $A{H}^2 + S{H}^2 = S{A}^2$

$\Rightarrow SH=\frac{1}{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}$

Vậy $V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}{2}.1=\frac{1}{2}$

Lại có: $V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}.\frac{1}{5}$                          

Vậy   $V_{S.ABC}=5$