Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2),B(-2;0;3),C(0;1;-2), M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi I là điểm sao cho $4\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left(-\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{1}{3}\right)$ 

$\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\left(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}\right)\left(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM}\right)+\\ 2\left(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM}\right)\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM}\right)+3\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM}\right)\left(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}\right)\\ =\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}+3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{\mathrm{I}M}\left(4\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}\right)+6I{M}^2\end{array}$

Do $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}+3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA}$ là hằng số và $\overrightarrow{IM}\left(4\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}\right)=0$ Nên $S_{\min }khiI{M}_{\min }\iff M$là hình chiếu của I lên mặt phẳng $\left(Oxy\right)\Rightarrow M\left(-\frac{1}{6};\frac{1}{12};0\right)\Rightarrow T=-2+1=-1$