Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V.

* Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác $SAC\Rightarrow MN$ đi qua G

$$\begin{gathered} \frac{V_1}{V}=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{SAMN}}{V_{SABD}}+\frac{V_{SMNP}}{V_{SBDC}}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{SM}{SD}.\frac{SN}{SB}+\frac{SP}{SC}.\frac{SM}{SD}.\frac{SN}{SB}\right) \\ =\frac{3}{4}x.y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{V_1}{V}=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{SAPN}}{V_{SACB}}+\frac{V_{SAMP}}{V_{SADC}}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{SP}{SC}.\frac{SN}{SB}+\frac{SM}{SD}.\frac{SP}{SC}\right) \\ =\frac{1}{4}\left(x+y\right) \end{gathered}$$

Với $x=\frac{SN}{SB};Y=\frac{SM}{SD}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 3xy=x+y\ge 2\sqrt{xy} \\ \iff 9x^2{y}^2\ge 4xy \\ \iff \frac{3}{4}xy\ge \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Vậy $\frac{V_1}{V}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là D