Tính thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác nội tiếp một mặt cầu bán kính bằng 3.

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều aco $SH=h,AB=x$ 

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là $R=\frac{S{A}^2}{2\times SH}=3\iff S{A}^2=6\times SH$ 

Tam giác SAH vuông tại H, ta có $S{A}^2=S{H}^2+A{H}^2=S{H}^2+\frac{A{B}^2}{2}=h^2+\frac{x^2}{2}$ 

Suy ra $h^2+\frac{x^2}{2}=6h\iff x^2=12h-2h^2.$ 

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}$ 

Khi đó $V=\frac{1}{3}h.x^2=\frac{2}{3}h\left(6h-h^2\right)=\frac{2}{3}\left(6h^2-h^3\right)\le \frac{64}{3}$ (khảo sát hàm số)