Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = (2x+3)/

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có $\frac{2\text{x}+3}{\sqrt{m{\text{x}}^2+1}}=\frac{2\text{x}+3}{\left|x\right|}\frac{1}{\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}}\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2\text{x}+3}{\left|x\right|}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2\text{x}+3}{-x}=-2$ và

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\text{x}+3}{\left|x\right|}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\text{x}+3}{x}=2$. Từ đó, suy ra các giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2\text{x}+3}{\sqrt{m{\text{x}}^2+1}};\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\text{x}+3}{\sqrt{m{\text{x}}^2+1}}$ tồn tại và hữu hạn khi và chỉ khi các giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{m+\frac{1}{x^2}};\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}$ tồn tại, hữu hạn và khác không. Do $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}=0$ các giới hạn vừa nêu tồn tại, hữu hạn và khác 0 khi và chỉ khi m > 0.

Chú ý và Lỗi sai

* Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\left(a;+\infty \right);\left(-\infty ;b\right);\left(-\infty ;+\infty \right)$

Nếu $\left[\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0\end{array}\right.$ thì $y=y_0$ là tiệm cận ngang.

Từ định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số suy ra các giá trị m cần tìm là các giá trị sao cho tồn tại giới hạn của hàm số đã cho khi x tiến ra $+\infty$ và khi x tiến ra $-\infty$, đồng thời hai giới hạn đó phải khác nhau.