Tìm a để hàm số f(x) = căn (2x+1) - căn (x+5) khi x > 4 và (a+2)x/4 khi x <=4

* Hướng dẫn giải

Đáp án là C.

          • Txđ:  $D=ℝ$

          Với $x<4$   ta có $f\left(x\right)=\frac{\left(a+2\right)x}{4}$  $\Rightarrow f\left(x\right)$ liên tục trên  $\left(-\infty ;4\right)$

          Với $x>4$  ta có :    $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4} \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}$liên tục trên $\left(4;+\infty \right)$  

          • Tại x >4 ta có:$f\left(4\right)=a+2$

Ta có  $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{\left(a+2\right)x}{4}=a+2$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4} \\ =\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$         

Để hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên$ℝ$  khi hàm số $f\left(x\right)$  liên tục tại $x=4$  thì 

$$\begin{gathered} \underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(4\right) \\ \iff a+2=\frac{1}{6}\iff a=-\frac{11}{6} \end{gathered}$$