cho hàm số y= 1/3 x^3 -ax^2 -3ax + 4 với a là tham số

* Hướng dẫn giải

Đáp án là C.

Ta có $y^{\text{'}}=x^2-2ax-3a$ .

Hàm số có hai điểm cực trị  $\iff y^{\text{'}}=0$có hai nghiệm phân biệt $\iff x^2-2ax-3a=0$  (*) có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} \iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff a^2+3a>0 \\ \iff a\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(0;+\infty \right) \end{gathered}$$  (1).

Khi đó hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_1$  ,  $x_2$là hai nghiệm của phương trình (*).

Ta có $x_1^2-2a{x}_1-3a=0\Rightarrow x_1^2=2a{x}_1+3a$ ; tương tự $x_2^2=2a{x}_2+3a$  .

$\frac{x_1^2+2a{x}_2+9a}{a^2}+\frac{a^2}{x_2^2+2a{x}_1+9a}=2$

$\iff \frac{2a{x}_1+3a+2a{x}_2+9a}{a^2}+\frac{a^2}{2a{x}_2+3a+2a{x}_1+9a}=2$

$\iff \frac{2a\left(x_1+x_2\right)+12a}{a^2}+\frac{a^2}{2a\left(x_1+x_2\right)+12a}=2$$\iff \frac{4a^2+12a}{a^2}+\frac{a^2}{4a^2+12a}=2$

$\iff \frac{4a+12}{a}+\frac{a}{4a+12}=2$

$$\begin{gathered} \iff {\left(4a+12\right)}^2+a^2=2a\left(4a+12\right) \\ \iff 9a^2+72a+144=0 \end{gathered}$$

$\iff a=-4$(thỏa mãn điều kiện (1)).

Vậy $a_0=-4$