Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án là D.

      • Hàm số  $f\left(x\right)=x^3+3x^2-\left(m^2-3m+2\right)x+5$ đồng biến trên $\left(0;2\right)$  khi $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(0;2\right)$  (  $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$tại hữu hạn điểm)

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+6x-\left(m^2-3m+2\right)$

.$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(0;2\right) \\ \iff 3x^2+6x-\left(m^2-3m+2\right)\ge 0\forall x\in \left(0;2\right) \end{gathered}$$

${\Delta }_{f^{\text{'}}\left(x\right)}=3m^2-9m+15>0\forall m$

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$  luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ .

Yêu cầu bài toán$\left[\begin{array}{l}2\le x_1<x_2\left(1\right)\\ x_1<x_2\le 0\left(2\right)\end{array}\right.$

(1) Vô nghiệm.

(2) $$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}S<0\\ P\ge 0\end{array}\right.\iff -m^2+3m+2\ge 0 \\ \iff \frac{3-\sqrt{17}}{2}\le m\le \frac{3+\sqrt{17}}{2} \end{gathered}$$  

Vậy có 4 giá trị nguyên của m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.