Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có :

$y=\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+4{\cos }^{2}x+1}=\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}$

Và$\sin 2x+2\cos 2x+3>0;\forall x\in ℝ$  .

xét phương trình $y=\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}$

$$\begin{gathered} \iff \left(\sin 2x+2\cos 2x+3\right)y=3\sin 2x+\cos 2x \\ \iff \left(y-3\right)\sin 2x+\left(2y-1\right)\cos 2x=-3y \end{gathered}$$   

Phương trình trên có nghiệm nên

${\left(y-3\right)}^2+{\left(2y-1\right)}^2\ge {\left(-3y\right)}^2\iff 5y^2-10y+10\ge 9y^2$

$$\begin{gathered} \iff -4y^2-10y+10\ge 0 \\ \iff \frac{-5-\sqrt{65}}{4}\le y\le \frac{-5+\sqrt{65}}{4} \end{gathered}$$

Suy ra giá trị lớn nhất của y là $\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$

Phương trình $\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}\le m+1$  nghiệm đúngg với mọi số thực x khi $\frac{-5+\sqrt{65}}{4}\le m+1\iff m\ge \frac{-9+\sqrt{65}}{4}$