Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Trước tiên ta xác định hàm số f(x) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.

Đặt BM= x , CM =7-x $\Rightarrow AM=\sqrt{x^2+25}$ . Theo đề ta có ngưới canh hải đăng chèo từ A đến M trên bờ biển với v = 4km/h rồi đi bộ đến C với v = 6 km/h

 $\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}+\frac{7-x}{6}=\frac{3\sqrt{x^2+25}-2x+14}{12}$ với $x\in (0;7)$

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{12}\left(\frac{3x}{\sqrt{x^2+25}}-2\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{3x}{\sqrt{x^2+25}}-2=0\\ \iff 3x-2\sqrt{x^2+25}=0\\ \iff 2\sqrt{x^2+25}=3x\\ \iff \left\{\begin{array}{l}5x^2=100\\ x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm 2\sqrt{5}\\ x\ge 0\end{array}\right.\iff x=2\sqrt{5}\end{array}$

Vậy đoạn đường ngắn nhất thì giá trị phải nhỏ nhất

$\begin{array}{l}f\left(0\right)=\frac{29}{12}\\ f\left(2\sqrt{5}\right)=\frac{14+5\sqrt{5}}{12}\\ f\left(7\right)=\frac{\sqrt{74}}{4}\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ  nhất của f(x) là $\frac{14+5\sqrt{5}}{12}$  tại x= $2\sqrt{5}$

Nên thời gian đi ít nhât là BM= x = $2\sqrt{5}$