Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển (x-1/x)^n

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $C_n^k=C_n^{n-k}$ nên đẳng thức:

 $$\begin{gathered} C_n^2{C}_n^{\text{n-}2}+2C_n^2{C}_n^3+C_n^3{C}_n^{n-3}=100 \\ \iff {\left(C_n^2\right)}^2+2C_n^{2}C+{\left(C_n^3\right)}^2=100 \end{gathered}$$

 $$\begin{gathered} \iff {\left(C_n^2+C_n^3\right)}^2=100\iff {\left(C_{n+1}^3\right)}^2=100 \\ \iff C_{n+1}^3=10\Rightarrow n=4 \end{gathered}$$

Số hạng tổng quát trong khai triển: ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^4={\left(x+\left(-\frac{1}{x}\right)\right)}^4$là:

$$\begin{gathered} T_{k+1}=C_4^k{x}^{4-k}{\left(\frac{-1}{x}\right)}^k={\left(-1\right)}^k{C}_4^k{x}^{4-k}.x^{-k} \\ ={\left(-1\right)}^k{C}_4^k{x}^{4-2k} \end{gathered}$$

Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn:

$4-2k=0\iff k=2$  và có giá trị là: ${\left(-1\right)}^2.C_4^2=6$