Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, (S) là mặt cầu tiếp xúc

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Với tứ diện đều ABCD thì mặt cầu (S) là mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và là trọng tâm của tứ diện đều cạnh a, đồng thời có bán kính $R=\frac{a\sqrt{2}}{4}$ 

Gọi G là trọng tâm của tứ diện $\Rightarrow \overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}+\overline{GD}=\overline{0}$ 

Ta có: 

$T=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2={\left(\overline{MG}+\overline{GA}\right)}^2+{\left(\overline{MG}+\overline{GB}\right)}^2+{\left(\overline{MG}+\overline{GC}\right)}^2+{\left(\overline{MG}+\overline{GD}\right)}^2$ 

$=4M{G}^2+2\overline{MG}\left(\underset{0}{\underbrace{\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}+\overline{GD}}}\right)+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2+G{D}^2=4M{G}^2+4G{A}^2$ 

$=4{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2+4{\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^2=2a^2$ . Vậy $T=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2=2a^2$