Cho hình chóp S.ABCcó mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi $r_1,r_2,r_3$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HCA$

Theo định lí Sin, ta có $\frac{AB}{\sin \stackrel{⏜}{AHB}}=2r_1\Rightarrow r_1=\frac{2}{2.\sin 150°}=2;$ tương tự $\left\{\begin{array}{l}{r}_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\ r_3=1\end{array}\right.$

Gọi $R_1,R_2,R_3$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp $S.HAB,S.HBC,S.HCA$

Đặt $SH=2x\Rightarrow R_1=\sqrt{r_1^2+\frac{S{H}^2}{4}}=\sqrt{x^2+4};R_2=\sqrt{x^2+\frac{3}{4}}$và $R_3=\sqrt{x^2+1}$

Suy ra $\sum S=S_1+S_2+S_3=4\pi R_1^2+4\pi R_2^2+4\pi R_3^2=4\pi \left(3x^2+\frac{19}{3}\right)=\frac{124\pi }{3}\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{4\sqrt{3}}{3}.\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4}{3}$

Chú ý: “Cho hình chóp $S.ABC$có SA vuông góc với đáy và $R_{\Delta ABC}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\to R=\sqrt{R_{\Delta ABC}^2+\frac{S{A}^2}{4}}$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC”