Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Kẻ $IM\perp SD$tại M Đường thẳng $IM\subset mp\left(P\right)$

ABCD là hình vuông $\Rightarrow CD\perp AD$ mà $SA\perp CD\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)$

Ta có $\left(P\right)\perp AD$ mà $CD\perp AD\Rightarrow CD//mp\left(P\right)$

Qua I kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BC tại P

Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SC tại N

Suy ra mặt phẳng (P) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang vuông IMNP tại M và I.

Tam giác SAD vuông tại A có $d\left(A;SD\right)=a\sqrt{3}\Rightarrow IM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác IMD vuông tại M có $MD=\sqrt{I{D}^2-I{M}^2}=\frac{a}{2}\Rightarrow \frac{SM}{SD}=\frac{7}{8}\Rightarrow MN=\frac{7a}{4}$

Vậy diện tích hình thang IMNP là $S=IM.\frac{MN+IP}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}.\left(\frac{7a}{4}+2a\right)=\frac{15\sqrt{3}}{16}{a}^2$