Cho hàm số f(x); f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\begin{array}{l}\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left[2f\left(x\right)+3f\left(-x\right)\right]dx=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{4+x^2}dx\\ \iff 2\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+3\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(-x\right)dx=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{4+x^2}dx\left(1\right)\end{array}$

Đặt $t=-x\to dt=-dx.$ Đổi cận $x=2\to t=-2,x=-2\to t=2$ 

Ta có $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(-x\right)dx=\underset{2}{\overset{-2}{\int }}f\left(t\right)d\left(-t\right)=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Thay vào $\left(1\right)\Rightarrow \underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{5}\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{4+x^2}dx=\frac{\pi }{20}$