Cho bất phương trình .1+(log_(1/7) (√(x^2+3ax+10)+4)).log_3a (x^2+3ax+12)≥

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $m=3a$ ta có ${\log }_{m}11+\left({\log }_{\frac{1}{7}}\left(\sqrt{x^2+mx+10}+4\right)\right).{\log }_m\left(x^2+mx+12\right)\ge 0.$

Dk: $m>0,m\ne 1,x^2+mx+10\ge 0$ 

Bpt đã cho tương đương với $\frac{1-{\log }_7\left(\sqrt{x^2+mx+10}+4\right).{\log }_{11}\left(x^2+mx+12\right)}{{\log }_{m}11}\ge 0\left(*\right)$

Đặt $u=x^2+mx+10,u\ge 0$ 

+ với $0<m<1:\left(*\right)\iff f\left(u\right)={\log }_7\left(\sqrt{u}+4\right).{\log }_{11}\left(u+2\right)\ge 1$ 

$f\left(9\right)=1$  và $f\left(u\right)$ là hàm số đồng biến nên ta có

$f\left(u\right)\ge f\left(9\right)\iff x^2+mx+10\ge 9\iff x^2+mx+1\ge 0$ 

Vì phương trình trên có $\Delta =m^2-4<0$ với $0<m<1$ nên phương trình vô nghiệm

+Với $m>1:f\left(u\right)\le 1=f\left(9\right)\iff 0\le u\le 9\iff 0\le x^2+mx+10\le 9\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+mx+10\ge 0\left(1\right)\\ x^2+mx+1\le 0\left(2\right)\end{array}\right.$ 

Xét phương trình $x^2+mx+1\le 0$ có $\Delta =m^2-4<0$

Nếu $m>2\Rightarrow \Delta >0\Rightarrow pt$ vô nghiệm $\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow$ bpt vô nghiệm

Nếu $m=2\Rightarrow pt\left(2\right)$ trên có 2 nghiệm thỏa mãn $x=-1\Rightarrow$ bpt có nhiều hơn 1 nghiệm 

Nếu $m=2\Rightarrow pt\left(2\right)$ có nghiệm duy nhất  $x=-1\Rightarrow$ bpt có nghiệm duy nhất  $x=-1$

Vậy gtct của m là $m=2\Rightarrow a=\frac{3}{2}$