Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[-2018;2018]$ để hàm số $y=\frac{{\cot }^2-2m\cot x+2m^2-1}{\cot x-m}$ nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$ là

Đặt $t=\cot x,t\in \left(0;1\right),$ ta có $y=\frac{t^2-2mt+2m^2-1}{t-m}$ đồng biến trên (0;1) $y\text{'}=\frac{t^2-2mt+1}{{\left(t-m\right)}^2}$

Để hàm số đồng biến trên $\left(0;1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\ge 0,\forall t\in \left(0;1\right)\\ m\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left[1;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{t^2+1}{t}\ge 2m,\forall t\in \left(0;1\right)\left(1\right)\\ m\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left[1;+\infty \right)\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải $\left(1\right)\iff g\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t}\ge 2m,\forall t\in \left(0;1\right);g\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{t^2}=0\iff t=\pm 1$ 

Lập bảng biến thiên $\Rightarrow 2m\le 2\iff m\le 1,$ kết hợp $\left(2\right)\Rightarrow \left(-\infty ;0\right]\cup \left\{1\right\}$ 

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[-2018;2018]$ thỏa mãn