Nhà của ba bạn A, B, C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$BM=x\left(km\right),0<x<25$ ta có

$AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{x^2+100}=\sqrt{x^2+100}\left(km\right),MC=BC-BM=25-x\left(km\right)$ 

Thời gian bạn A đi xe buýt từ nhà đến điểm hẹnM là $t_A=\frac{\sqrt{x^2+100}}{30}\left(h\right)$ 

Thời gian bạn A, B đi xe máy từ điểm hẹn M đến nhà bạn C là $t_{AB}=\frac{25-x}{50}\left(h\right)$ 

Suy ra thời gian bạn A đi từ nhà đến nhà bạn C là $t\left(x\right)=t_A+t_{AB}=\frac{\sqrt{x^2+100}}{30}+\frac{25-x}{50}\left(h\right)$

Để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất thì hàm số t(x) đạt giá trị nhỏ nhất, với $0<x<25$ 

Ta có $t\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{30\sqrt{x^2+100}}+\frac{1}{50};t\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\frac{15}{2}$

Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số t(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $t\left(\frac{15}{2}\right)=\frac{23}{30}\left(h\right)$ khi $x=\frac{15}{2}\left(km\right)=BM\Rightarrow MC=25-x=\frac{35}{2}\left(km\right).$ 

Khi đó $5BM+3MC=5.\frac{15}{2}+3.\frac{35}{2}=90$