Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $2O{D}^2=a^2\Rightarrow OD=\frac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow SO=OD\tan {60}^{\circ }=\frac{a}{\sqrt{2}}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Gọi H là hình chiếu của N lên (ABCD) là trung điểm của OC.

Ta có: $NH=\frac{SO}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4};S_{MBC}=S_{ABCD}=a^2$ 

$V_{N.BCM}=\frac{1}{3}NH.S_{MBC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.a^2=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$ 

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{MD}{DC}.\frac{CS}{CN}.\frac{NP}{PM}=1\iff \mathrm{1.2.}\frac{NP}{PM}=1 \\ \iff \frac{NP}{PM}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{PM}{MN}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$ 

Ta có: $\frac{V_{M.DPQ}}{V_{M.BCN}}=\frac{PM}{MN}.\frac{MD}{MC}.\frac{MQ}{MB}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow V_{NpQDCA}=\frac{5}{6}{V}_{N.BCM}=\frac{5}{6}.\frac{a^3\sqrt{6}}{12}=\frac{5a^3\sqrt{6}}{72}$