Tìm m để hàm số y=x^3+mx^2+(1-2m)x+m-3 đồng biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có $y\text{'}=3x^2+2mx+1-2m$

Hàm số đồng biến trên $\left(-3;0\right)\iff y\text{'}\ge 0,\forall x\in \left(-3;0\right)\iff 3x^2+2mx+1-2m\ge 0,\forall x\in \left(-3;0\right)$

$\iff m\left(2x-2\right)\ge -3x^2-1\iff m\le -\frac{3x^2+1}{2x-2},x\in \left(-3;0\right)\left(1\right)$

Xét hàm số

 $f\left(x\right)=-\frac{3x^2+1}{2x-2},x\in \left(-3;0\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{-6x^2+12x+2}{{\left(2x-2\right)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\frac{3\pm 2\sqrt{3}}{3}$

Ta có bảng biến thiên hàm số $f\left(x\right)$như sau:

Suy ra $\underset{\left(-3;0\right)}{f\left(x\right)}\ge 2\sqrt{3}-3\Rightarrow \left(1\right)\iff m\le 2\sqrt{3}-3$