Cho tứ diện đều ABCD có cạnh 2a. Tính bán kính r của mặt

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A xuống (BCD) và (ABC).

$AH\cap DK=O.$ Khi đó O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

Ta có: $DH=\frac{2}{3}\sqrt{{\left(2a\right)}^2-a^2}=\frac{2a}{\sqrt{3}};IK=\frac{1}{2}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$ 

$DK=\sqrt{D{I}^2-I{K}^2}=\sqrt{4a^2-a^2-{\left(\frac{a}{3}\right)}^2}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$

 Ta có: $\Delta DOH~\Delta DIK\Rightarrow \frac{OH}{DH}=\frac{IK}{DK}$

$\Rightarrow OH=DH.\frac{IK}{DK}\Rightarrow r=OH=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ 

Cách 2: Ta có: $\cos \widehat{AIH}=\frac{HI}{AI}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow OH=HI\tan \frac{\widehat{AIH}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{6}.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}=r$