Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1 ] thỏa mãn f(1) = 0

* Hướng dẫn giải

Có

$$\begin{gathered} {\int }_0^1{x}^{2}f\left(x\right)dx=x^{3}f{\left(x\right)}_0^1 \\ - {\int }_0^1\left(2x^{2}f\left(x\right)+x^{3}f\left(x\right)\right)dx \\ \iff {\int }_0^1{x}^{3}f\text{'}\left(x\right)dx=-1 \end{gathered}$$

Có

$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2+14x^{3}f\text{'}\left(x\right)+49x^{6}dx=0 \\ \iff {\int }_0^1\left[f\text{'}\left(x\right)+7x^3\right]dx=0 \end{gathered}$$

hay $f\text{'}\left(x\right)=-7x^3$ trên [ 0;1 ].

Lại có $f\left(1\right)=0\Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{7x^4}{4}+\frac{7}{4}$ nên ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=\frac{7}{5}$

Đáp án cần chọn là A