Cho hàm số y=x^3-3x^2-(m^2-2)x+m^2 có đồ thị là đường cong

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x-m^2+2$

Lấy $\frac{y}{y\text{'}}$ thì phần dư ta được PT đường thẳng qua các điểm cực trị là:

$y=\frac{2}{3}x\left(m^2+1\right)+\frac{2m^2+2}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm là: $$\begin{gathered} x^3-3x^2-\left(m^2-2\right)x+m^2=0 \\ \begin{array}{l}\iff x^3-3x^2+2x-m^2\left(x-1\right)=0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x^2-2x-m^2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ g\left(x\right)=x^2-2x-m^2=0\end{array}\right.\end{array} \end{gathered}$$

Đk cắt tại 3 điểm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=1+m^2>0\\ g\text{'}\left(1\right)=-1-m^2\ne 0\end{array}\right.$

Khi đó $\left(C\right)$ cắt Ox tại 3 điểm $A\left(x_1;0\right);B\left(1;0\right);C\left(x_2;0\right)$, theo Viet ta có: $x_1+x_2=2=2x_B$

Gọi M và N là tọa độ 2 điểm cực trị thì B là trung điểm của MN (Do B là điểm uốn)

Để $AMCN$ là hình chữ nhật thì $AC=MN\iff \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left(x_M-x_N\right)}^2+\frac{4}{9}{\left(m^2+1\right)}^2{\left(x_M-x_N\right)}^2}$

Trong đó $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_M+x_N=2\\ x_M{x}_N=\frac{2-m^2}{3}\end{array}\right.\Rightarrow 4+4m^2=\left(4+\frac{4m^2-8}{3}\right)\left[\frac{4}{9}{\left(m^2+1\right)}^2+1\right]\\ \iff {\left(m^2+1\right)}^2=\frac{9}{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l}{m}^2=\frac{3}{\sqrt{2}}-1\\ m^2=-\frac{3}{\sqrt{2}}-1\end{array}\right.\iff m=\pm \sqrt{\frac{3}{\sqrt{2}}-1}$

Do đó $T=m_1^4+m_2^4=11-6\sqrt{2}$