Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét tứ diện đều ABCD canh a $\Rightarrow DM=\frac{a\sqrt{3}}{2};AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Ta có $c\text{os}\left(\overline{AB};\overline{DM}\right)=\frac{\overline{AB}.\overline{DM}}{\overline{\left|AB\right|}.\overline{\left|DM\right|}}=\frac{\overline{AB}.\overline{DM}}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{\overline{AB}.\overline{DM}}{a^2}$ 

Mà $\overline{AB}.\overline{DM}=\overline{AB}\left(\overline{AM}-\overline{AD}\right)=\overline{AB}.\overline{AM}-\overline{AB}.\overline{AD}$ 

$=AB.AM.c\text{os}\left(\overline{AB};\overline{AM}\right)-AB.AD.c\text{os}\left(\overline{AB};\overline{AD}\right)=a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$ 

Vậy $c\text{os}\left(\overline{AB}.\overline{DM}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}>0\Rightarrow c\text{os}\left(AB;DM\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}.$