y = 4x +(m+1)sinx + mcosx đồng biến trên R. Số phần tử của S

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có tập xác định D = $\mathrm{ℝ}$ và ${\mathrm{y}}^{\text{'}}=4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}$ 

Hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff {\mathrm{y}}^{\text{'}}\ge 0,\forall \mathrm{x}\in \mathrm{D}\iff \underset{\mathrm{ℝ}}{\mathrm{Min}}\left(4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\right)\ge 0$

Ta có

$\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\ge -\sqrt{2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1},\forall \mathrm{x}$ 

$\Rightarrow 4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\ge 4-\sqrt{2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1},\forall \mathrm{x}$ 

$\Rightarrow \underset{\mathrm{ℝ}}{\mathrm{Min}}\left(4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\right)=4-\sqrt{2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1}\ge 0$ 

$\iff 2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}-15\le 0\iff \frac{-1-\sqrt{31}}{2}\le \mathrm{m}\le \frac{-1+\sqrt{31}}{2}$

Do $\mathrm{m}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow \mathrm{m}\in \mathrm{S}=\left\{-3;-2;-1;0;1;2\right\}.$ Vậy S có 6 phần tử