Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấy hàm số $f\left(x\right)=x^3+3x^2-1$

Xét hàm số $f\left(\left|x\right|+m\right)={\left(\left|x\right|+m\right)}^3+3\left(\left|x\right|+m\right)-1$ với $x\in ℝ$

Chú ý : Cực trị là điểm làm y' đổi dấu và $f\left(x\right)=\left|x\right|=\sqrt{x^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|}$

Do đó $f\left(\left|x\right|+m\right)=3\left(\left|x\right|+m\right)\left[\left(\left|x\right|+m\right)+2\right].\frac{x}{\left|x\right|}$.

Khi đó $y=f\left(\left|x\right|+m\right)$ có 5 điểm cực trị $\left[\begin{array}{l}\left|x\right|+m=0\\ \left|x\right|+m+2=0\end{array}\right.$có 4 nghiệm phân biệt $\left[\begin{array}{l}\left|x\right|=-m\\ \left|x\right|=-2-m\end{array}\right.$có 4 nghiệm $\left\{\begin{array}{l}-m>0\\ -2-m>0\end{array}\right.\iff m<-2$

Cách 2: Đồ thị hàm số $y=f\left(\left|x\right|+m\right)$ được suy ra từ

 $y=f\left(x\right)\to y=f\left(x+m\right)\to y=f\left(\left|x\right|+m\right)$.

Đồ thị hàm số muốn có 5 điểm cực trị khi ở bước thứ 1ta dịch chuyển đồ thị sang phải nhiều hơn 2 đơn vị $m<-2$