Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm P(2;-1;3), Q(3;2;1)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ có phương trình dạng $\mathrm{Ax}+\mathrm{By}+\mathrm{Cz}+\mathrm{D}=0$ (điều kiện ${\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{C}}^2>0$)

Vì P thuộc $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ nên $2\mathrm{A}-\mathrm{B}+3\mathrm{C}+\mathrm{D}=0\iff \mathrm{D}=-2\mathrm{A}+\mathrm{B}-3\mathrm{C}$

Khoảng cách từ Q đến mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ là

$$\begin{gathered} \mathrm{d}\left(\mathrm{Q},\left(\mathrm{\alpha }\right)\right)=\frac{\left|3\mathrm{A}+2\mathrm{B}+\mathrm{C}+\mathrm{D}\right|}{\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{C}}^2}} \\ =\frac{\left|\mathrm{A}+3\mathrm{B}-2\mathrm{C}\right|}{\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{C}}^2}}\le \frac{\sqrt{1^2+3^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{C}}^2}}{\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{C}}^2}}=\sqrt{14} \end{gathered}$$

Như vậy khoảng cách từ Q đến $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ lớn nhất $\mathrm{d}=\sqrt{14}$ khi $\frac{\mathrm{A}}{1}=\frac{\mathrm{B}}{3}=\frac{\mathrm{C}}{-2}$.

Do A, B, C không đồng thời bằng 0 nên chọn $\mathrm{A}=1,\mathrm{B}=3,\mathrm{C}=-2,\Rightarrow \mathrm{D}=7$.

Phương trình mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right):\mathrm{x}+3\mathrm{y}-2\mathrm{z}+7=0$