Tìm giá trị của m để hàm số y = x + m(sinx + cosx + m ) đồng biến

* Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} y\text{'}=1+m\left(\cos x-\sin x\right) \\ =1-\sqrt{2}m\sin \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \end{gathered}$$

Đặt $t=\sin \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ với $t\in \left[-1;1\right]$ ta có $f\left(1\right)=1-\sqrt{2}mt$

Để hàm số đồng biến trên R thì

$$\begin{gathered} f\left(t\right)\ge 0\forall t\in \left[-1;1\right] \\ \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)\ge 0\\ f\left(1\right)\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1+\sqrt{2}m\ge 0\\ 1-\sqrt{2}m\ge 0\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ m\le \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right. \\ \iff -\frac{\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Đáp án A