Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: cos4x=(cos 3x)^2+m (sin x)^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: ${\cos }^{2}3x\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac{4{\cos }^{3}2x-3\cos 2x+1}{2}$ và $\cos 4x=2{\cos }^{2}2x-1$

Khi đó, phương trình đã cho 

$\iff 2{\cos }^{2}2x-1=\frac{4{\cos }^{3}2x-3\cos 2x+1}{2}+\frac{1-\cos 2x}{2}m$

$\iff 4{\cos }^{2}2x-2=4{\cos }^{3}2x-3\cos 2x+1+\left(1-\cos 2x\right)m$

$\iff \left(\cos 2x-1\right)m=4{\cos }^{3}2x-4{\cos }^{2}2x-3\cos 2x+3$

Đặt $t=\cos 2x,$ với $x\in \left(0;\frac{\pi }{12}\right)\to t\in \left(\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)$ do đó: $\left(*\right)\iff m\frac{4t^3-4t^2-3t+3}{t-1}=4t^2-3$

Xét hàm số $f\left(t\right)=4t^2-3$  trên khoảng $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)\to \left\{\begin{array}{l}\min f\left(t\right)=0\\ \max f\left(t\right)=1\end{array}\right.$

Vậy để phương trình $m=f\left(t\right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in \left(0;1\right)$