Cho phương trình (m-1)(log 1/2 (x-2)^2)^2+4(m-5) log 1/2 (1/x-2)+4m-4=0

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương pháp:

- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với ${\log }_2\left(x-2\right)$ và đặt ẩn phụ $t={\log }_2\left(x-2\right)$ với $t\in \left[-1;1\right]$

- Rút m theo t và xét hàm f(t) để tìm ra điều kiện của m.

Cách giải: 

$\left(m-1\right){\log }_{\frac{1}{2}}^2{\left(x-2\right)}^2+4\left(m-5\right){\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\left(x>2\right)$

$\left(m-1\right){\log }_2^2\left(x-2\right)+\left(m-5\right){\log }_2\left(x-2\right)+m+1=0$

Đặt $y={\log }_2\left(x-2\right)\Rightarrow x\in \left[\frac{5}{2};4\right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right]$

Phương trình đã cho trở thành:

$\left(m-1\right)t^2+\left(m-5\right)t+m+1=0$

$\iff m\left(t^2+t+1\right)=t^2+5t+1$$\iff m=\frac{t^2+5t+1}{t^2+t+1}=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$

vì $t^2+t+1>0\forall t\in \left[-1;1\right]$

Xét hàm số:$y=1+\frac{4t}{t^2+t+1}$ trên $\left[-1;1\right]$

Có: $y\text{'}\left(t\right)=\frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}$

$y\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{-4t^2+4}{{\left(t^2+t+1\right)}^2}=0\iff t=\pm 1\in \left[-1;1\right]$

Ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow m\in \left(-3;\frac{7}{3}\right)\Rightarrow a+b=-\frac{2}{3}.$

Chú ý khi giải: HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm f(t) để đi đến kết luận.