Cho lăng trụ đứng cóABC.A'B'C' có AB=AC=BB'=a

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương pháp: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Cách giải: Gọi E là giao điểm của B’I và BC.

Hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) có giao tuyến là EA

mà $AK\subset \left(AIB\text{'}\right);AH\subset \left(ACB\right);EA\perp AK;EA\perp AH\Rightarrow$hợp bởi hai mặt phẳng (AIB') và (ACB) là KAH

Ta có: $BC=2a\cos 30°=a\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} A{E}^2=E{C}^2+A{C}^2-2AC.EC.\cos ACE \\ =3a^2+a^2-2a.a\sqrt{3}.\cos 150°=7a^2 \\ \Rightarrow AE=a\sqrt{7} \end{gathered}$$

Ta có:

 $\cos AEC=\frac{A{E}^2+E{C}^2-A{C}^2}{2AC.EC}=\frac{7a^2+3a^2-a^2}{2a\sqrt{7}.a\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{21}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan AEC=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}AEC}-1}=\frac{\sqrt{3}}{9}. \\ \Rightarrow AH=AE.\tan AEC=\frac{a\sqrt{21}}{9} \end{gathered}$$

Ta có: $\frac{EH}{EB}=\frac{HK}{BB\text{'}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow HK=\frac{EH.BB\text{'}}{EB}=\frac{AE.BB\text{'}}{2BC.\cos AEC} \\ =\frac{a\sqrt{7}.a.2\sqrt{21}}{2a\sqrt{3}.9}=\frac{7a}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos KAH=\frac{AH}{AK}=\frac{AH}{\sqrt{A{H}^2+H{K}^2}} \\ =\frac{a\sqrt{21}}{9\sqrt{\frac{21a^2}{81}+\frac{49a^2}{81}}}=\frac{\sqrt{30}}{10} \end{gathered}$$