Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f(x) = 2(m+1) x^3+2mx^3-2(m +1)x -2m

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số là:

$\begin{array}{l}2(m+1)x^3+2m{x}^3-2(m+1)x\\ -2m=-x^4+x^2\\ \iff x^2(x^2-1)+2m(x^3+x^2-x-1)\\ +(2x^3-2x)=0\\ \iff x^2(x^2-1)+2m(x+1)(x^2-1)\\ +2x(x^2-1)=0\\ \iff (x^2-1)+(x^2+2(m+1)x+2m)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=1\iff x=\pm 1\\ g\left(x\right)=x^2+2(m+1)x+2m=0(*)\end{array}\right.\end{array}$ 

Xét

 $\left\{\begin{array}{l}g(-1)=1-2(m+1)+2m=-1\ne 0\\ g\left(1\right)=1+2(m+1)+2m=4m+3\ne \mathrm{0,}\\ \left(\text{do }m\ne -\frac{3}{4}\right)\\ \Delta {\text{'}}_{(*)}={\left(m+1\right)}^2-2m=m^2+1>0\\ \forall m\in ℝ\end{array}\right.$

Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$, với $m\ne -\frac{3}{4}.$

Vậy hai đồ thị f(x) và g(x) cắt nhau tại 4 điểm.