Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho: 1^2 log a 2019+2^2 log căn a 2019+...

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương pháp:

Biến đổi VT để xuất hiện ${\log }_{a}2019$

Sử dụng công thức $1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$

Cách giải:

Ta có: 

$VT=1^2.{\log }_{a}2019+2^2{\log }_{\sqrt{a}}2019+\mathrm{...}{n}^2.{\log }_{\sqrt[n]{a}}2019$

Vậy. $=1^3.{\log }_{a}2019+2^3{\log }_{a}2019+\mathrm{...}+n^3.{\log }_{a}2019$

$=\left(1^3+2^3+\mathrm{...}+n^3\right).{\log }_{a}2019$

$VT={1010}^2{.2019}^2.{\log }_{a}2019$

Có $VT=VP$

$\iff \left(1^3+2^3+\mathrm{...}+n^3\right){\log }_{a}2019={1010}^2{.2019}^2.{\log }_{a}2019$

$\iff \frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}={1010}^2{.2019}^2$

$\iff {\left(n^2+n\right)}^2={\left(2020.2019\right)}^2$

$\iff n^2+n=2020.2019$ vì $n^2+n>0,\forall n>0$

$\iff \left[\begin{array}{l}n=2019\in \left[0;+\infty \right)\\ n=-2020\notin \left[0;+\infty \right)\end{array}\right.$

Vậy $n=2019$

Chú ý khi giải:

HS thường không biết áp dụng công thức $1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$ dẫn đến không tìm ra kết quả bài toán.