Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Tập xác định:  D=R 

* Trường hợp 1: Xét  

$\begin{array}{l}{m}^2-2m=0\\ \iff m(m-2)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}\right.\end{array}$

Nếu m = 0 thì hàm số trở thành y=3x và luôn đồng biến R . Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nếu m = 2 thì hàm số trở thành $y=2x^2+3x$  chỉ đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{3}{4};+\infty \right)$ . Vậy m  = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Trường hợp 2: Xét  

$\begin{array}{l}{m}^2-2m\ne 0\\ \iff m(m-2)\ne 0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.\end{array}$

Đạo hàm $y\text{'}=(m^2-2m)x^2+2mx+3.$ Do phương trình y' = 0 chỉ có tối đa hai nghiệm nên hàm số đồng biến trên $ℝ\iff y\text{'}\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ 

$\begin{array}{l}\iff (m^2-2m)x^2+2mx+3\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m>0\\ \Delta \text{'}=m^2-3(m^2-2m)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m(m-2)>0\\ 2m(3-m)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>2\\ m<0\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m\ge 3\\ m\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 3\\ m<0\end{array}\right.\end{array}$ 

Kết hợp cả hai trường hợp ta tìm được $\left[\begin{array}{l}m\ge 3\\ m\le 0\end{array}\right..$